|
|
Stochastic Differential Equations with Gaussian Noise
Janák, Josef ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce)
Název práce: Stochastické diferenciální rovnice s Gaussovským šumem Autor: Josef Janák Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí disertační práce: Prof. RNDr. Bohdan Maslowski, DrSc., Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Abstrakt: V práci studujeme stochastické parciální diferenciální rovnice druhého řádu se dvěma neznámými parametry. Nalezneme tvar silně spojité semigrupy (S(t), t ≥ 0) pro hyperbolický systém řízený Brownovým pohybem a také tvar kovarian- čního operátoru invariantní míry Q (a,b) ∞ . Na základě ergodických vět odvodíme dvě vhodné skupiny odhadů ve smyslu minimálního kontrastu a dokážeme jejich silnou konzistenci i asymptotickou normalitu. Dále se zabýváme odhady založenými na "po- zorovacím okně", což vede k dalším skupinám silně konzistentních odhadů. Popisu- jeme jejich vlastnosti a speciální případy i jejich asymptotickou normalitu. Výsledky aplikujeme na stochastickou vlnovou rovnici s Brownovým šumem a ilustrujeme je v mnoha počítačových simulacích. Klíčová slova: Stochastická hyperbolická rovnice, Ornstein-Uhlenbeckův proces, invariantní míra, odhady parametrů, silná konzistence, asymptotická normalita.
|
|
|
Parameter Estimation in Stochastic Differential Equations
Pacák, Daniel ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce) ; Hlubinka, Daniel (oponent)
V diplomové práci je studován problém odhadu parametru ve stochastických difer- enciálních rovnicích. Jsou uvažovány lineární rovnice řízené volterrovským procesem. Nejprve jsou uvedeny vlastnosti volterrovského procesu a vlastnosti stochastikého in- tegrálu vzhledem k volterrovskému procesu. Dále se práce zabývá vlastnostmi řešení uvažované rovnice, včetně existence stationárního řešení a ergodicity. Tyto vlastnosti jsou dále zobecněny pro rovnice s řídícím procesem smíšeného typu. Ergodické výsledky jsou použity pro odvození silně konzistentních odhadů neznámého parametru. 1
|
|
|
Parameter estimation for Ornstein-Uhlenbeck process
Martinková, Sandra ; Kříž, Pavel (vedoucí práce) ; Maslowski, Bohdan (oponent)
Ornstein-Uhlenbeckův proces má nespočetně praktických využití. Pro většinu z nich je potřebné znát alespoň odhad jeho parametrů. Dvě základní metody odhadu parametrů jsou metoda nejmenších čtverců (která má v tomto případě stejný výsledek jako metoda maximální věrohodnosti) a metoda momentů. Avšak tyto dvě metody jsou si hodně podobné co se asymptotických vlastností týče. Proto je rozhodnutí, kterou z nich si v praxi vybrat, často náhodné nebo málo informované. Tato práce se soustředí na určení rozdílů mezi zmíněnými metodami při aplikaci na trajektorie Ornstein-Uhlenbeckova pro- cesu vygenerované v statistickém softwaru R. Simulační studie, která byla v této práci provedena, naznačuje, že metoda momentů je vhodnější, pokud je počáteční podmínka procesu blízko nuly a to i v případě, že nemáme moc husté pozorování. Na druhou stranu přesnost metody nejmenších čtverců je lepší v případech, kdy je počáteční podmínka daleko od nuly. Avšak v tomto případě je nutné mít husté pozorovnání. V této studii metoda nejmenších čtverců fungovala lépe než metoda momentů, pokud byla počáteční podmínka velká. Naopak metoda momentů byla přesnější, pokud nebyla dostupná hustá data, ale...
|
|
|
Stochastic Differential Equations with Gaussian Noise
Janák, Josef ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce)
Název práce: Stochastické diferenciální rovnice s Gaussovským šumem Autor: Josef Janák Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí disertační práce: Prof. RNDr. Bohdan Maslowski, DrSc., Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Abstrakt: V práci studujeme stochastické parciální diferenciální rovnice druhého řádu se dvěma neznámými parametry. Nalezneme tvar silně spojité semigrupy (S(t), t ≥ 0) pro hyperbolický systém řízený Brownovým pohybem a také tvar kovarian- čního operátoru invariantní míry Q (a,b) ∞ . Na základě ergodických vět odvodíme dvě vhodné skupiny odhadů ve smyslu minimálního kontrastu a dokážeme jejich silnou konzistenci i asymptotickou normalitu. Dále se zabýváme odhady založenými na "po- zorovacím okně", což vede k dalším skupinám silně konzistentních odhadů. Popisu- jeme jejich vlastnosti a speciální případy i jejich asymptotickou normalitu. Výsledky aplikujeme na stochastickou vlnovou rovnici s Brownovým šumem a ilustrujeme je v mnoha počítačových simulacích. Klíčová slova: Stochastická hyperbolická rovnice, Ornstein-Uhlenbeckův proces, invariantní míra, odhady parametrů, silná konzistence, asymptotická normalita.
|
|
|
Stochastic Differential Equations with Gaussian Noise
Janák, Josef ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce) ; Duncan, Tyrone E. (oponent) ; Pawlas, Zbyněk (oponent)
Název práce: Stochastické diferenciální rovnice s Gaussovským šumem Autor: Josef Janák Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí disertační práce: Prof. RNDr. Bohdan Maslowski, DrSc., Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Abstrakt: V práci studujeme stochastické parciální diferenciální rovnice druhého řádu se dvěma neznámými parametry. Nalezneme tvar silně spojité semigrupy (S(t), t ≥ 0) pro hyperbolický systém řízený Brownovým pohybem a také tvar kovarian- čního operátoru invariantní míry Q (a,b) ∞ . Na základě ergodických vět odvodíme dvě vhodné skupiny odhadů ve smyslu minimálního kontrastu a dokážeme jejich silnou konzistenci i asymptotickou normalitu. Dále se zabýváme odhady založenými na "po- zorovacím okně", což vede k dalším skupinám silně konzistentních odhadů. Popisu- jeme jejich vlastnosti a speciální případy i jejich asymptotickou normalitu. Výsledky aplikujeme na stochastickou vlnovou rovnici s Brownovým šumem a ilustrujeme je v mnoha počítačových simulacích. Klíčová slova: Stochastická hyperbolická rovnice, Ornstein-Uhlenbeckův proces, invariantní míra, odhady parametrů, silná konzistence, asymptotická normalita.
|
host ::
RSS.